Estimation d'une moyenne
vraie (µ) par intervalle de confiance.
La moyenne vraie µ est la valeur de la moyenne dans la population de référence.
Celle-ci est inaccessible car, pour la connaître, il faudrait étudier l'ensemble de la population de référence, ce qui est impossible.
On peut par contre obtenir une estimation de la moyenne vraie à partir de la valeur de la moyenne calculée dans un échantillon (soit ) :
- soit par estimation ponctuelle (on prend )
- soit par estimation d'un intervalle de confiance
Formules pour le calcul d'un intervalle de confiance à (1 – α) %.
IC1- α (µ) = (6 uα · ) uα donné par la table de la loi centrée réduite
IC1- α (µ) = (6 t · ) t donné par la table de la loi de Student
(n – 1) est le nombre de ddl : il est donc déduit à partir de la taille de l'échantillon.
Exemple : On veut estimer la moyenne vraie µ des performances au 25 m brasse pour des élèves de 6e.
Pour cela, on étudie un échantillon de 28 élèves de 6e : on mesure les performances de ces 28 élèves au 25 m brasse et on obtient une moyenne = 45 sec et un écart type s = 10 sec.
À partir de ces données, on veut estimer
l'intervalle de confiance dans lequel la moyenne vraie µ a 95% de chances de se
trouver.
Comme la taille de l'échantillon (n = 28) est inférieure à 30, on est dans le cas des petits échantillons. La formule de l'intervalle de confiance à 95% est :
IC95% (µ) = (6 t · )
On lit pour α = 5 %, un t, soit k = 27 ddl. On trouve t = 2, 052.
D'où IC95% (µ) =
= [41,1 ; 48,9]
On cherche l'intervalle de
confiance à 99%.
IC99% (µ) = (6 t · )
On lit pour α = 1 %, un t, soit k = 27 ddl. On trouve t = 2, 771.
D'où IC99% (µ) =
= [39,8 ; 50,2]