Tests sur les variables quantitatives continues

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Il s'agit de tests de comparaisons de moyennes

I. Les grands échantillons

1. Tests de comparaison d'une moyenne observée à une valeur donnée

Sur un seul échantillon, sa moyenne observée sera comparée à une valeur de référence.

Exemple :

On sait qu'un enfant de 10 ans court un 60 m en 10 sec en moyenne. On a une classe de 35 élèves. On veut savoir s'ils ont des performances compatibles avec cette valeur de référence? Pour cela on chronomètre tous les élèves de la classe et on note les résultats.

Variable étudiée : X : le temps de course au 60 m pour un enfant de 10 ans.

C'est une variable quantitative continue. On effectue donc un test sur les moyennes.

Hypothèses : H₀ : µ = 10

H₁ : µ ≠ 10

Dans la formulation des hypothèses, interviennent toujours les valeurs vraies. Ici, µ = moyenne vraie du temps d'un 60 m chez un enfant de 10 ans.

Paramètre : ε = Loi du paramètre si H₀ est vraie : ε ~ N (0;1)

• et s sont la moyenne et l'écart type des données de l'échantillon (valeurs expérimentales).
• µ_ref est la valeur de référence (ici µ_ref = 10)

Choix du risque : α = 5 %

Règle de décision : si │ε_c│< 1, 96 alors je ne rejette pas H₀

si │ε_c│> 1, 96 alors je rejette H₀

Calculs : n = 35

= 11, 2 sec

s² = 4, 41 sec ²

s = 2, 1 sec

ε_c = 3, 38

soit │ε_c│> 1, 96 alors je rejette H₀

Conclusion : au risque 5%, la classe a un niveau au 60 m significativement différent du niveau moyen à cet âge.

Calcul du degré de signification dans le cas d'un rejet de H₀ :

Pour ε_c = 3, 38, on lit dans la table 1.10^-3 > α > 1.10^-4

D'où p < 1.10^-3

2. Tests de comparaison de deux moyennes observées.

On a deux échantillons distincts auxquels on obtient deux moyennes que l'on compare entre elles.

Exemple :

Deux groupes d'athlètes ont reçu deux méthodes d'entraînement différentes pour courir un 100 m. on désire comparer ces méthodes, c'est-à-dire déterminer si elles aboutissent à des performances similaires. Pour cela, on chronomètre tous les athlètes des deux groupes et on note les résultats.

Variable étudiée : X : le temps de course au 100 m.

C'est une variable quantitative continue. On effectue donc un test sur les moyennes.

Hypothèses : H₀ : µ_A = µ_B

H₁ : µ_A ≠ µ_B

On s'intéresse dans es hypothèses aux moyennes vraies des performances avec les méthodes A et B.

Paramètre : ε = Loi du paramètre si H₀ est vraie : ε ~ N (0;1)

• _A, _B, s_A et s_B sont respectivement les moyennes et les écarts types des données des échantillons.

Choix du risque : α = 5 %

Règle de décision : si │ε_c│< 1, 96 alors je ne rejette pas H₀

si │ε_c│> 1, 96 alors je rejette H₀

Calculs : n_A = 35

_A = 11, 2 sec

s²_A = 4, 41 sec ²

s_A = 2, 1 sec

n_B = 32

_B = 10, 9 sec

s²_B = 7, 8 sec ²

s_B = 2, 8 sec

ε_c = 0, 49

soit │ε_c│< 1, 96 alors je ne rejette pas H₀

Conclusion : au risque 5%, nous n'avons pas mis en évidence de différence significative entre les performances obtenues avec les deux méthodes d'entraînement. Ces deux méthodes sont donc équivalentes car elles aboutissent à des performances comparables.

Pas de calcul du degré de signification dans le cas d'un non rejet de H₀.

3. Tests de comparaison de moyennes sur séries appariées.

Cette fois, il ne s'agit plus de deux groupes distincts, mais du même groupe sur lequel on fait les deux séries de mesures : on chronomètre le temps de course au 100 m dans des conditions différentes que l'on veut comparer.

Pour cela, on chronomètre tous les athlètes du groupe avant (perf1) et après (perf2) le cycle d'apprentissage, et on note la différence des résultats. On s'intéresse à la différence des performances.

D = perf 2 – perf 1

On met en oeuvre un test pour déterminer si cette différence est significativement différente de 0, c'est-à-dire s'il existe une différence significative entre les performances réalisées avant et après le cycle d'apprentissage.

Hypothèses : H₀ : µ_D = 0

H₁ : µ_D ≠ 0

Paramètre : ε = Loi du paramètre si H₀ est vraie : ε ~ N (0;1)

• et s_D sont la moyenne et l'écart type des différences entre les deux échantillons.

Choix du risque : α = 5 %

Règle de décision : si │ε_c│< 1, 96 alors je ne rejette pas H₀

si │ε_c│> 1, 96 alors je rejette H₀

Calculs : n = 35

= 0, 3 sec

s² = 0, 38 sec ²

s_D = 0, 62 sec

ε_c = 2, 74

soit │ε_c│> 1, 96 alors je rejette H₀

Conclusion : au risque 5%, les performances réalisées après le cycle d'apprentissage sont significativement meilleures que celles réalisées avant. La méthode d'apprentissage est donc efficace car elle conduit à une amélioration significative des performances.

Calcul du degré de signification dans le cas d'un rejet de H₀ :

Pour t_c = 2, 74, on lit dans la table la ligne du nombre de ddl et on voit que 1.10^-2 > α > 1.10^-3

D'où p < 1.10^-2

II. Les petits échantillons

1. Test de comparaison d'une moyenne à une valeur donnée.

Exemple :

On sait qu'un enfant de 10 ans court un 60 m en 10 sec en moyenne. On a une classe de 25 élèves. On veut savoir s'ils ont des performances compatibles avec cette valeur de référence? Pour cela on chronomètre tous les élèves de la classe et on note les résultats.

Variable étudiée : X : le temps de course au 60 m pour un enfant de 10 ans.

C'est une variable quantitative continue. On effectue donc un test sur les moyennes.

Hypothèses : H₀ : µ = 10

H₁ : µ ≠ 10

Dans la formulation des hypothèses, interviennent toujours les valeurs vraies. Ici, µ = moyenne vraie du temps d'un 60 m chez un enfant de 10 ans.

Paramètre : t = Loi du paramètre si H₀ est vraie : t ~ S (0;1)

• et s sont la moyenne et l'écart type des données de l'échantillon (valeurs expérimentales).
• µ_ref est la valeur de référence (ici µ_ref = 10)

Choix du risque : α = 5 %

Règle de décision : si │t_c│< t alors je ne rejette pas H₀

si │t_c│/ t alors je rejette H₀

Calculs : n = 25

= 11, 2 sec

s² = 4, 41 sec ²

s = 2, 1 sec

k = 25 – 1 = 24 ddl

t_c = 2, 86

dans la table, on lit t = 2, 064

soit │t_c│> 2, 064 alors je rejette H₀

Conclusion : au risque 5%, la classe a un niveau au 60 m significativement différent du niveau moyen à cet âge.

Calcul du degré de signification dans le cas d'un rejet de H₀ :

Pour t_c = 3, 38, on lit dans la table 1.10^-3 > α > 1.10^-4

D'où p < 1.10^-3

2. Test de comparaison de deux moyennes observées

On a deux échantillons distincts auxquels on obtient deux moyennes que l'on compare entre elles.

Exemple :

Deux groupes d'athlètes ont reçu deux méthodes d'entraînement différentes pour courir un 100 m. on désire comparer ces méthodes, c'est-à-dire déterminer si elles aboutissent à des performances similaires. Pour cela, on chronomètre tous les athlètes des deux groupes et on note les résultats.

Variable étudiée : X : le temps de course au 100 m.

C'est une variable quantitative continue. On effectue donc un test sur les moyennes.

Hypothèses : H₀ : µ_A = µ_B

H₁ : µ_A ≠ µ_B

On s'intéresse dans es hypothèses aux moyennes vraies des performances avec les méthodes A et B.

Paramètre : t = Loi du paramètre si H₀ est vraie : t ~ S (n_A + n_B - 2)

• s² =

Choix du risque : α = 5 %

Règle de décision : si │t_c│< t alors je ne rejette pas H₀

si │t_c│> t alors je rejette H₀

Calculs : n_A = 35

_A = 11, 2 sec

s²_A = 4, 41 sec ²

s_A = 2, 1 sec

n_B = 32

_B = 10, 9 sec

s²_B = 7, 8 sec ²

s_B = 2, 8 sec

k = 35 + 22 –2 = 55 ddl

s² = 5, 72 sec²

t_c = 0, 46 avec t = 1, 96

soit │t_c│< 1, 96 alors je ne rejette pas H₀

Conclusion : au risque 5%, nous n'avons pas mis en évidence de différence significative entre les performances obtenues avec les deux méthodes d'entraînement. Ces deux méthodes sont donc équivalentes car elles aboutissent à des performances comparables.

Pas de calcul du degré de signification dans le cas d'un non rejet de H₀.

3. Test de comparaison de moyennes sur séries appariées.

Cette fois, il ne s'agit plus de deux groupes distincts, mais du même groupe sur lequel on fait les deux séries de mesures : on chronomètre le temps de course au 100 m dans lequel les athlètes ont des chaussures différentes.

Pour cela, on chronomètre tous les athlètes du groupe avec la paire 1 et la paire 2, et on note la différence des résultats. On s'intéresse à la différence des performances.

D = perf 2 – perf 1

On met en oeuvre un test pour déterminer si cette différence est significativement différente de 0, c'est-à-dire s'il existe une différence significative entre les performances réalisées avant et après le cycle d'apprentissage.

Hypothèses : H₀ : µ_D = 0

H₁ : µ_D ≠ 0

Paramètre : t = Loi du paramètre si H₀ est vraie : t ~ S (n - 1)

• et s_D sont la moyenne et l'écart type des différences entre les deux échantillons.

Choix du risque : α = 5 %

Règle de décision : si │t_c│< t alors je ne rejette pas H₀

si │t_c│> t alors je rejette H₀

Calculs : n = 22

= 0, 35 sec

s_D = 0, 65 sec

t_c = 2, 53 avec t = 2, 08

soit │t_c│> 2, 08 alors je rejette H₀

Conclusion : au risque 5%, les performances réalisées avec la paire de tennis 1 sont significativement meilleures que celles réalisées avec la paire 2. la paire 1 a des propriétés efficaces pour de meilleures performances.

Calcul du degré de signification dans le cas d'un rejet de H₀ :

Pour t_c = 2, 53, on lit dans la table la ligne du nombre de ddl et on voit que 2.10^-2 > α > 1.10^-2

D'où p < 2.10^-2